En la actualidad, existen m�s de 1000 demostraciones que confirman que el Teorema de Pit�goras es uno de los resultados que a trav�s de la historia m�s han llamado la atenci�n

1. Breve Historia.

Pit�goras fue un fil�sofo y matem�tico griego que vivi� en el periodo 585 � 500 A. C. Hombre m�stico y arist�crata que fund� la Escuela Pitag�rica, una especie de secta cuyo s�mbolo era el pent�gono estrellado, y dedicada al estudio de la filosof�a, la matem�tica y la astronom�a.

Por muchos a�os se le ha atribuido a Pit�goras el enunciado y demostraci�n del teorema geom�trico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado dif�cil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las ense�anzas de la escuela, as� como el car�cter verbal de estas y la obligaci�n de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

Existen evidencias de que en otras culturas tambi�n se conoc�a el teorema. Por ejemplo, los hind�es expl�citamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva � Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 a�os A. C., pero tampoco se conoce de la existencia de una demostraci�n, ya que la geometr�a no era para ellos una teor�a formal sino un cierto tipo de aritm�tica aplicada, en la cual las figuras ven�an representadas en forma de n�meros. A su vez, los egipcios conoc�an que el tri�ngulo de lados 3,4 y 5 es rect�ngulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del teorema.

Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoci� el enunciado de la regla y se dedic� a demostrarla.

El enunciado que dieron los antiguos griegos al Teorema de Pit�goras es el siguiente: el �rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa, de un tri�ngulo rect�ngulo es igual a la suma de las �reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El enunciado moderno es: En un tri�ngulo rect�ngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Consideramos la figura

El �rea del cuadrado chico (blanco) es a²

El �rea del cuadrado grande (verde) es (c +b )²

Del �lgebra sabemos que (c + b )² = c² + 2cb + b²

C�mo el �rea de cada tri�ngulo viene dada por (bc)/2

entonces, la suma de las cuatro �reas es 4 (bc)/2 = 2bc

Podemos asegurar entonces que:

el �rea del cuadrado chico m�s el �rea de los tri�ngulos es igual al �rea del cuadrado grande, es decir

a² + 2bc = c² + 2cb + b²

a² = c² + b²

Lo cual no es m�s que el enunciado moderno del Teorema de Pit�goras

Podemos utilizar este recuso a manera de experiencia de laboratorio, para introducir el teorema de Pit�goras o para verificar que se cumple su enunciado. A continuaci�n dos ejemplos de c�mo utilizar rompecabezas para verificar que: el �rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las �reas construidas sobre los catetos.

• Dibujamos un tri�ngulo rect�ngulo y sobre cada uno de sus lados, construimos un cuadrado. Dibujamos en cartoncillo o en madera la plantilla completa. Se recortan, en cartulina y por las l�neas punteadas, los cuadros rosado y celeste.

Se pide al estudiante que coloque las piezas recortadas sobre el cuadro gris, de tal forma que agote toda el �rea.

Ejemplo 2:

• Utilizando una de las esquinas de una hoja de papel de construcci�n con �ngulo recto, se dibuja un segmento de recta para completar un tri�ngulo con catetos de aproximadamente uno y dos pulgadas.

• Se corta cuidadosamente a lo largo del segmento trazado para separar el tri�ngulo del resto de la hoja. Rotulamos los lados del tri�ngulo a,b y c; siendo c la hipotenusa y a el cateto m�s peque�o.

• En una hoja de papel de construcci�n de otro color, utilizando una de las esquinas de la hoja os marcas, midiendo el lado b del tri�ngulo desde el v�rtice de la esquina a lo largo de ambos bordes de la hoja. Trazamos rectas paralelas a los bordes de la hoja de papel y que pasen por las marcas hechas en los bordes. Queda determinado un cuadrado cuyos lados miden b unidades y cuya �rea es b².

• Utilizamos dos hojas adicionales, de diferentes colores para repetir el procedimiento anterior y obtener cuadrados de lados a y c.

• Verificamos que los cuadrados recortados corresponden a los que se pueden construir sobre los lados del tri�ngulo.

• Colocamos el tri�ngulo sobre el lado b de manera que el �ngulo recto del tri�ngulo coincida con uno de los �ngulos rectos del cuadrado. Trazamos un segmento a lo largo de la hipotenusa.

• Ahora colocamos el tri�ngulo de manera que su �ngulo recto coincida con el �ngulo recto de un v�rtice adyacente del cuadrado y traza otro segmento a lo largo de la hipotenusa.

• Obtenemos una figura con cuatro piezas que al separarlas y en conjunto con el cuadrado de lado a forma un rompe cabezas.

Las cinco piezas colocadas sobre el cuadrado de lado c agotan completamente el �rea. De esta manera se confirma el enunciado del Teorema de Pit�goras.

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